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이항 분포로부터 포아송 분포를 유도할 수 있다.
포아송 분포는 다음과 같은 상황에서의 이항 분포의 근사식이라고 할 수 있다.
가정: 확률 θ 는 작고 시행횟수 n 은 매우 클 경우 λ=nθ 로 둔다.
여기서 우리가 알아야 할 것은 n 은 무한으로 발산하고 θ 는 0으로 수렴하고 있다보니 λ 는 어떤 상수에 수렴할 것이라는 것이다.
그리고 이항 분포 Bi(x|θ,n)=(nx)θx(1−θ)n−x 임을 알고 있다.
그럼 여기에서부터 포아송 분포 유도를 시작한다.
다음 식과 같이 이항 분포를 전개하면
Bi(k|θ,n)=(nk)θk(1−θ)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)θkk!(1−θ)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)nk(nθ)kk!(1−θ)n(1−θ)−k=n(n−1)⋯(n−k+1)nkλkk!(1−λn)n(1−λn)−k
여기서 시행횟수 n→∞ 하면 λkk!limn→∞(1−λn)n 를 제외하고는 모두 1로 수렴하게 된다.
그리고 limn→∞(1−λn)n 은 e−λ 임을 알고 있으므로 limn→∞Bi(k|θ,n)=λke−λk! 가 된다.
즉 포아송 분포 (Poisson) 분포라는 것은 시행횟수 n 은 크고 확률 θ 는 작을 때의 이항분포를 뜻하고 위와 같은 유도를 통해서 구할 수 있다.
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