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통계

포아송 분포 유도: 이항 분포로부터 (Poisson distribution: approximation to Binomial)

by 프들이 2023. 7. 9.
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이항 분포로부터 포아송 분포를 유도할 수 있다.

포아송 분포는 다음과 같은 상황에서의 이항 분포의 근사식이라고 할 수 있다.

가정: 확률 θ 는 작고 시행횟수  n 은 매우 클 경우 λ=nθ 로 둔다.

여기서 우리가 알아야 할 것은 n 은 무한으로 발산하고 θ 는 0으로 수렴하고 있다보니 λ 는 어떤 상수에 수렴할 것이라는 것이다.

그리고 이항 분포 Bi(x|θ,n)=(nx)θx(1θ)nx 임을 알고 있다.

그럼 여기에서부터 포아송 분포 유도를 시작한다.

다음 식과 같이 이항 분포를 전개하면

Bi(k|θ,n)=(nk)θk(1θ)nk=n(n1)(nk+1)θkk!(1θ)nk=n(n1)(nk+1)nk(nθ)kk!(1θ)n(1θ)k=n(n1)(nk+1)nkλkk!(1λn)n(1λn)k

여기서 시행횟수 n 하면 λkk!limn(1λn)n 를 제외하고는 모두 1로 수렴하게 된다.
그리고 limn(1λn)neλ 임을 알고 있으므로 limnBi(k|θ,n)=λkeλk! 가 된다.

즉 포아송 분포 (Poisson) 분포라는 것은 시행횟수 n 은 크고 확률 θ 는 작을 때의 이항분포를 뜻하고 위와 같은 유도를 통해서 구할 수 있다.

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